4. 静磁场数值模拟
4.1 基本理论
根据电磁场理论，引起电磁场的场源主要有净电荷、电流、永磁体，如果所讨论的系统中电磁场达到了稳定状态，同时系统中也没有产生净电荷，那么这时的场源是由永磁体或电流产生，我们称为静磁场问题。从Maxwell方程组有：
\[ \begin{array}{l}\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \\ \nabla \cdot \vec{D}=\rho_{e} \\ \nabla \cdot \vec{B}=0\end{array} \]
可以看出，电场和磁场相互耦合（"电生磁、磁生电"），但是如果系统达到了稳态，∂/∂t=0，方程组将解耦为电场方程组和磁场方程组，两者互不影响。自由电荷为零对应的是本章要讨论的静磁场问题。
静磁场问题，Maxwell方程组可以简化为：
\[ \begin{array}{l}\nabla \times \vec{H}=\vec{J} \\ \nabla \cdot \vec{B}=0\end{array} \]
在无旋场(即旋度为零的场)中可以采用标量位函数，而在有旋场中，则必须用矢量位函数，我们可以引入矢量磁位：
\[ \vec{B}=\nabla \times \vec{A} \]
那么方程可以化为非齐次波动方程：
\[ \nabla \times \frac{1}{\mu} \nabla \times \vec{A}=\vec{J} \]
4.2 前/后处理方法
4.2.1 激励源
在静磁场中，激励源主要分为两种：一种为电流源，另一种为电密源。
进行激励源设置时，只需要选中要施加激励源的物体，然后点击菜单栏上的 Maxwell → Excitation → Assign → Current Excitation 项，这样就会自动弹出电流源激励给定窗口，其中 Name 选项可以设定所加激励源的名称。Value 项可以设定激励源的电流值，需要说明的是对于多匝线圈，该值应该是给总的安匝数，而不是一匝线圈的电流值。Ref.Direction项可以设定电流的方向，Positive 项为电流从纸面垂直流出，而Negative 项为电流垂直纸面流入。在设定完毕后，可以点击OK 按钮确定。
添加电密激励与电流激励的方向相类似，选中所要添加激励的物体，点击菜单栏上的Maxwell → Excitation → Assign → Current Density Excitation 项，这样会弹出电密源激励给定窗口。在Name 项中，可以设定电密源的名称，在下方的Value 项中可以给定电密的数值，通过定义电密数值的正、负来更改电密的方向。
4.2.2 边界条件
在静磁场中的边界条件包括：矢量磁位边界条件、对称边界条件、气球边界条件、主边界条件和从边界条件，除此之外还有默认的自然边界条件。
（1）自然边界条件
自然边界条件也称纽曼边界条件，可以用来描述两个相接触的物体，在接触面上，磁场强度H 的切向分量和磁感应强度B 的法向分量保持连续。此外在引入表面电流密度后，仍可以保证H 的连续性。
（2）Vector Potential Boundary ------ 矢量磁位边界条件
矢量磁位边界条件主要施加在求解域或计算模型的边线上，可以定义该边线的上所有点都满足以下两个公式：
\[ A_z=Const , rA_\theta=Const \]
前者适用于 XY 坐标系,而后者适用于RZ 坐标系。Const 为给定常数，AZ 和Aθ 分别为XY 坐标系下Z 方向上的矢量磁位和RZ 坐标系下θ方向矢量磁位。
当Const 常数等于0 时，描述的是磁力线平行于所给定的边界线，这在仿真理想磁绝缘情况时特别有用。
（3）Symmetry Boundary ------ 对称边界条件
如果计算的模型具有对称性，则可以通过使用对称边界条件来达到缩小计算模型区域的目的。在对称边界条件中又分为奇对称边界条件和偶对称边界条件。奇边界条件(Odd)时，表示磁力线平行于边界条件，磁场的法向分量为0 仅有切向分量；偶边界条件(Even)，描述的恰好相反，其表示磁力线垂直与边界条件，磁场的切向分量为0 仅有法向分量。
（4）Balloon Boundary ------ 气球边界条件
在很多模型中，需要进行较远处磁场的数值计算，而绘制过大的求解区域则会无谓的增加计算成本，引入无穷远边界条件是一种非常理想的处理方法。Maxwell 将无穷远边界条件称之为气球边界条件。
（5）Master/Slave Boundary ------ 主/从边界条件
主从边界条件是由主边界条件和从边界条件配合而成，在使用时要先将模型的一条边定义为主边界，然后再设定另外一条边为从边界。该边界条件的引入可以将类似与旋转电机之类的几何模型简化，仅计算其中的一个极或一对极，从而减少所计算的数据量。
4.2.3 网格剖分
网格剖分主要有：On Selection、Inside Selection 和Surface Approximation三种，其各自的意义为对于物体边界内指定剖分规则、对物体内部指定剖分规则和对物体表层指定剖分规则。
4.2.4 场量及场图的查看
场量查看：在想要查看的路径上绘制曲线，在Results处点击右键，Creat Fields Report → Rectangular Plot，在Geometry栏选择绘制的曲线，在Category中选择Calculator Expressions，在Quantity中选择要查看的场量，点击New Report，则可生成场量波形图。
场图查看：选中要查看的模型，右键Field，可以查看包括矢量磁位A、磁场强度H、磁感应强度B、电密J、能量Energy、其他场量Other 和用户自定义的场量Named Expression 项，每一种场量分为矢量图和标量图等选项。
4.2.5 场计算器
在 Maxwell后处理中已经包含了一些基本的场量，但仍有许多场量无法直接查看，可利用场计算器对场量进行数学处理，来满足用户的需求。
4.3 案例1------螺线管电感
螺线管指的是多重卷绕的导线，卷绕内部可以是空心的，或者有一个金属芯。当有电流通过导线时，螺线管内部会产生均匀磁场。螺线管是很重要的元件。螺线管也可以用为电磁铁或电感器。
螺线管的静磁场模型具有以下特征：磁场分布具有旋转对称性；忽略端部效应时每一匝线圈内的磁场分布相同；通入电流后产生的磁感应强度大小与螺线管长度无关。本例的螺线管模型如图4-1所示。
模型的主要参数如下：铁芯材料： steel_1008，\(r_0\)= 9 mm，\(r_1\)= 10 mm，\(r_2\)= 12 mm，\(h_{core}\) = 22 mm，N = 10。
4.3.1 本节知识点
模型简化（3D→2D→单匝线圈）
电感计算
磁力线查看
铁芯与空芯电感的对比
磁通计算（场计算器）
4.3.2 分析模型的建立
（1）确定分析类型
分析这个问题可知，模型具有对称性，可采用2D等效，其激励源为稳态的电流源，是一个二维静磁场分析的问题。具体通过点击Insert Maxwell 2D Design图标，新建一个2D仿真任务，然后点击工具栏Maxwell 2D → Solution Type，弹出新的对话框中，求解器类型选择Magnetostatic。
（2）建立分析模型
由于螺线管在圆周方向上具有对称性，因此可在圆周方向对三维螺线管取一个截面作为本问题的分析模型。。根据螺线管参数，建立的2D分析模型如图4-2所示。
建模过程中，首先创建铁芯，可采用菜单栏Draw→Rectangle得到矩形；然后创建线圈，先采用Draw→Circle绘制圆形，即为单匝线圈，再利用Edit→Duplicate→Along Line将线圈沿直线复制即可。最后创建求解域Region，其大小可自行设置，观察求解域大小对计算结果和磁力线分布的影响。
（3）设置材料属性
右键选中 Assign Material 为模型设置材料属性。其中铁芯设置为Stell_1008，线圈材料设置为铜（Copper），求解域设置为空气（air）。
（4）网格划分
针对铁芯、线圈和求解域，分别进行网格剖分设置。具体操作如下：选中需设置的材料，利用 Assign Mesh Operation → InsideSelection → Length Based 对材料内部划分网格，将 Maximum Length of Elements 设置为剖分对象尺寸的一半或更小。
（5）施加载荷与边界条件
载荷的施加比较简单，同时选中需要施加电流激励的所有线圈，利用 Assign Excitation→Current添加载荷，在弹出菜单中可将Base Name项设为current，Parameters 栏中将Value设为ix，默认值为10，单位为A。此时，软件会根据设置的Base Name为所有线圈批量添加激励，并设置好激励名称。
根据模型对称性，将求解域Region非对称的三条边选中，并设置为气球边界条件，即认为求解域计算至无穷远处。
（6）求解设置
将计算精度设置为0.1%。为了计算电感值，还需要设置电感计算的设置。右键单击工程树下的 Parameters，选择 Assign → Matrix，在Setup设置框内将 Include下面的激励源均勾选，并在Post Processing设置框内设置每个线圈匝数，次数将Turns参数设置为nx（nx为预先在Design Propeties中设置的变量，便于做参数化分析），之后选中左侧所有激励源，通过Group将所有的激励线圈设置为一组。因为所有线圈为串联连接，因此Branches一栏设置为1，表明所有线圈组成的支路数为1（串联）。软件会自动计算螺线管的电感参数。点击Validate检查设置，确认无误后点击 Analyze All 开始计算。
4.3.3 计算结果的处理与分析
（1）电感计算
计算完成之后，可在Results → Solution Data里看到螺线管各个线圈间的电感计算结果，为矩阵形式，矩阵对角线为每个线圈的自感值，矩阵其它参数为两个线圈之间的互感参数。若选中PostProcessed选项，即可得到整个螺线管的自感。
（2）磁力线查看
计算成功后，在Fields Overlays → Fields → A → Flux_lines，即可看到求解出来的磁力线的空间分布，如下图4-4所示。采用同样方式，还可查看此螺线管的磁密云图（Fields → B）、磁场强度（Fields → H）等。
（3）铁芯与空芯电感的对比
将模型中的铁芯部分删去，即可得到空芯螺线管模型。此处，基于上述计算模型及结果，可做如下操作得到空芯螺线管模型。首先，在Project Manager中复制铁芯螺线管模型，打开该模型后，选中铁芯模型，双击打开或直接在Properties栏中找到Model选项，将其勾选项去掉，即表明该铁芯模型不作为仿真用模型参与计算，如图4-5所示。
重复上述的计算步骤即可得出空芯螺线管的电感。
4.4 案例2------永磁同步电机
永磁同步电动机具有结构简单，体积小、效率高、功率因数高等优点。在工业中应用广泛。永磁同步电机是由永磁体励磁产生同步旋转磁场的同步电机，永磁体作为转子产生旋转磁场。永磁同步电动机，由定子铁心、定子绕组、永磁体磁极、转子铁心组成。本例的永磁同步电机，其定子内径、外径分别为74mm 和120mm，极数为4，定子槽数为24，为了使读者更加清晰的了解整个电机模型的建立情况，本例采用整域求解，学习静磁场中永磁体的相关知识、电机的场图分布。该电机的模型示意图如图4-6 所示，主要尺寸参数为R1=13mm、R2=32mm、R3=37.5mm、R4=60mm、d=5mm。
4.4.1. 本节知识点
二维建模
永磁体
相对坐标系
磁密波形、云图
指定路径的场量查看
4.4.2 分析模型的建立
（1）确定分析类型
分析这个问题可知，模型可采用2D等效。点击Insert Maxwell 2D Design图标，新建一个2D仿真任务，然后点击工具栏Maxwell 2D → Solution Type，弹出新的对话框中，求解器选择Magnetostatic。
（2）建立分析模型
观察图4-1所示的模型可知，该模型沿圆周具有很高的对称性。定子模型的绘制可以先画一个定子齿、定子绕组和永磁体，再利用EditEdit → Duplicate → Along Axis沿圆周进行阵列得到完整模型，在创建求解域（Region），绘制一个略大于电机外径的圆，使其包裹电机所有模型，得到的分析模型如图4-7所示。建模过程中，相同的几何模型可以尽量采用复制操作来简化建模的过程，具体建模过程请自行完成，或者参考文献[1]相关内容。
（3）设置材料属性
将定子铁芯和转子铁芯的材料设置为DW465_50，将定子绕组的材料设置为铜（Copper），为永磁体定义新材料，命名为P_Mag，在材料编辑对话框下方的选择框中选择Permanent Magnet，在矫顽力Hc 中输入-947000，单位为Amps/Meter，剩余磁感应强度Br 中输入1.25，单位为Tesla，点击OK 按钮，指定磁化方向：将Xcomponent 后的值设为1，则表示该永磁材料的激磁方向沿永磁磁极面域所在坐标系的X 轴正方向上。磁体的极化方向与坐标系相关，因此，在该分析中采用建立相对坐标系的方法来确定永磁磁极的激磁方向，由于所分析电机具有四个磁极，因此，需要在全局坐标系的基础上建立四个相对坐标系统。
（4）坐标系建立
磁体的极化方向与坐标系相关，因此，在该分析中采用建立相对坐标系的方法来确定永磁磁极的激磁方向，由于所分析电机具有四个磁极，因此，需要在全局坐标系的基础上建立四个相对坐标系统。
执行命令Moderler → Coordinate System → Creat → RelativeCs → rotated，在坐标系的属性对话框中将名称改为RelativeCS_N1。按照上述的方法，分别建立其他三个相对坐标系统分别命名为 RelativeCS_N2、RelativeCS_S1和RelativeCS_S2，在建立相对坐标系统时，注意参考坐标系都选择为全局坐标系统Global。将各个相对坐标系统对应分配给各个磁极，以磁极N1 的设置为例，单击其属性设置，将Orientation 栏改选为坐标系RelativeCS_N1。
（5）网格划分
将定、转子铁心的网格尺寸设置为2mm，将定子绕组和永磁体的网格尺寸设置为1mm，将求解域网格设置为5mm 。
（6）施加载荷与边界条件
本例主要学习永磁体的相关操作，因此不对定子绕组进行载荷施加。对于边界条件而言，选中Region的的圆周，执行命令Maxwell 2D → Boundaries → Assign → Vector Potential，在Name 框中输入边界条件名称Boundary，参数值设置为0 即边界处无磁场通过，也就是说Region边界无漏磁存在。
（7）求解设置
将计算精度设置为0.1%，点击Validate检查设置，确认无误后开始计算。
4.4.3 计算结果的处理与分析
（1）气隙磁密波形
在仿真完成后，执行Draw center point arc命令，在气隙处画180°的圆弧，命名为Air_gap，需要注意的是在其属性中将Model栏的√去掉。在Results处点击右键，Creat Fields Report → Rectangular Plot，在Geometry栏选择圆弧Air_gap，在Category中选择Calculator Expressions，在Quantity中选择Mag_B，点击New Report，生成气隙磁密波形如图4-8所示。需要注意的是，此波形为气隙磁密幅值波形，弱需要查看气隙径向磁密波形，需要利用场计算器进行公式编写，此处不进行示例，具体可自行完成。
（2）磁密分布
选中所有模型，右键Field → B → Mag_B以及Field → B → B_Vector，即可查看电机的磁密分布云图及磁通矢量图，如图4-9所示。
（3）磁力线分布
选中所有模型，右键Field → A → Flux_Lines，即可查看电机的磁力线分布图如图4-10所示。
4.5 案例3------三相变压器
三相变压器广泛适用于交流50Hz至60Hz，电压660V以下的电路中，并在进口重要设备、精密机床、机械电子设备、医疗设备、整流装置等方面有重要应用。本例以三相心式变压器为例，其模型如图4-11所示。其参数为：
4.5.1 本节知识点
三维建模
闭合线圈的载荷施加方法
电感矩阵
指定截面的磁场显示
4.5.2 分析模型的建立
（1）确定分析类型
分析这个问题可知，模型不可采用2D等效，需要进行3D仿真。点击Insert Maxwell 3D Design图标，新建一个3D仿真任务，然后点击工具栏Maxwell 3D → Solution Type，弹出新的对话框中，求解器选择Magnetostatic。
（2）建立分析模型
铁芯的绘制：绘制三个长宽高分别为240mm、40mm和200mm， 60mm、40mm和120mm以及240mm、40mm和1mm的长方体，然后分别利用Edit → Boolean → Subtract操作得到铁芯的模型。
绕组的绘制：绘制两个长宽高分别为66mm、66mm和12mm，54mm、54mm和12mm的长方体，然后利用Edit → Boolean → Subtract操作得到一个线圈的模型。再利用Edit → Duplicate → Along Line操作分别复制其他8个线圈模型。最后为模型创建一个Region，其各个方向上的Percentage Offset值均设置为50。得到的分析模型如图4-12所示。
（3）设置材料属性
将变压器铁芯的材料设置为Stell_1008，将绕组的材料设置为铜（Copper）。
（4）网格划分
将铁心的网格尺寸设置为2mm，将绕组的网格尺寸设置为1mm，将求解域网格设置为10mm。
（5）施加载荷与边界条件
此例为闭合线圈的载荷施加，具体方法为：选中所有线圈，利用Modeler → Surface → Section，选中YZ平面，然后利用Modeler → Boolean → Separate Bodies得到两个截面，Edit → Delete删掉一半多余的截面。将左边柱上的截面重命名为：Section1，Section2，Section3；将中间柱上的截面命名为：Section4， Section5，Section6；将右边柱上的截面命名为：Section7, Section8 , Section9。
选中Section1，Section2，Section3，执行Maxwell 3D → Excitations → Assign → Current。Name：PhaseA；Value：-15A；Type：Stranded，确认。选中Section4，Section5，Section6，执行Maxwell 3D → Excitations → Assign → Current。Name：PhaseB；Value：30A；Type：Stranded，确认。选中Section7，Section8，Section9，执行Maxwell 3D → Excitations → Assign → Current。Name：PhaseA；Value：-15A；Type：Stranded，确认。
（6）设置计算参数
将计算Maxwell → Parameters → Assign → Matrix，弹出Matrix 窗口，在Setup子菜单下，include栏中确认打钩，在Post Processing子菜单下，将Turns栏中全部改为30，选中PhaseA_1，PhaseA_2，PhaseA_3，点击按键：Group，将Group名改为PhaseA。Branches栏值设置为1，即：每个线圈有30匝，在同一个柱上的3个线圈是串联连接。B、C两相的操作类似。
（7）求解设置
将计算精度设置为0.1%，点击Validate检查设置，确认无误后开始计算。
4.5.3 计算结果的处理与分析
（1）电感矩阵仿真结果查看
在仿真完成后，执行操作Parameters → Matrix → 点击右键选择View Solution，将PostProcessed上打勾，得到三相绕组的电感矩阵如图4-14所示，
（2）铁芯内部磁场分布
对于3D仿真模型，在仿真结束后，如果我们需要查看某个截面上的磁场分布情况，需要在此位置处画一个non model的截面，然后执行操作Field → B → Mag_B和Field → B → Mag_B_Vector，查看此截面处的磁密分布和磁通矢量分布。对于此例，铁芯横截面处的磁密分布和磁通矢量分布如图4-15所示。
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