1. 引言
1.1. 为什么需要电磁仿真？
在大学物理及电磁场的课本上，一些电磁场问题一般需要在很强的假设下（如完全均匀场、规则几何模型等），才能有解析解。然而，现实中的电磁场问题往往是复杂的，难以获得解析解，这个时候就需要用到数值分析工具来进行分析。本课程所要学习的ANSYS MAXWELL就是一款强大的有限元电磁场数值仿真软件，可以对复杂的电磁场问题进行准确的分析。下面以几个简单的例子介绍一下进行电磁场仿真的必要性。
1.1.1 平板电容器电容量的精确计算
对于图1-1所示的平板电容器，已知平板电容器边长为a，间距为d，介质相对介电常数为 \(ξ_r\) ，由大学物理的知识可知，该电容器两极板之间的电场为均匀电场，可表示以为
\(E=U/d\) (1-1)
其中，U为电容器端电压。同时，电容器的电容量可表示为
\(C=ξ_0ξ_ra^2/d\) (1-2)
图 1-1 平板电容器三维模型
然而，式(1-1)和(1-2)成立的前提是电容器极板间的电场完全均匀，或a>>d，这也是大学物理书上反复重复的一个前提条件。在不满足上述条件时，用式(1-2)来计算电容器的电容就可能存在一定的偏差。
(a) 等势线及电场矢量图 (b) 电场分布云图
图 1-2 平面电容器电场分析结果
图 1-2为基于有限元电磁仿真软件计算得到的某型平面电容器电势及电场分布，计算结果表明，在电容器的中心位置，电场十分均匀，但是在边角处，电场不均匀，电场线也漏出了极板区间（边缘效应）。这说明式(1-2)成立的前提已不再存在，只有当a>>d，边缘区所占比重较小，式(1-2)成立。
对于实际中电容计算问题，理论公式一般无法给出精确的结果，此时需要进行数值求解，比如采用有限元数值模拟，才能对一些非理想效应（如上述边缘效应）进行准确的评估，给出精确的结果。
1.1.2 气隙磁通的精确计算
对于如图1-3所示的带有气隙的铁芯，其上绕有一个线圈，若要对气隙磁场进行评估，根据电机学中学到的磁路知识，可以利用安培环路定理进行分析，即
\(NI=H_1L_1+H_2L_2\) (1-3)
其中， \(H_1\) 和 \(H_2\) 分别为铁芯和气隙内的磁场强度， \(L_1\) 和 \(L_2\) 分别为铁芯和气隙的磁路长度。
图 1-3 带气隙铁芯三维模型
在忽略漏磁的情况下，式(1-3)可进一步写成
\(NI=\frac{BL_1}{\mu_r\mu_0}+\frac{BL_2}{\mu_0}\)(1-4)
进而可以计算得到气隙磁场。由式(1-3)得到式(1-4)存在两个假设：无漏磁，即铁磁内的磁场全部通过气隙；铁芯各处的工作点相同，即相对磁导率相同。图1-4给出的是某组参数下基于有限元分析计算得到的磁芯内部磁场分析结果：图1-4(a)给出的是磁芯内的磁通密度分布云图及矢量图，磁场在线圈所在位置值较高，而在气隙周围则相对较低，说明铁芯磁通有一部分泄露；图1-4(b)给出的是磁芯内相对磁导率分布图，在线圈所在位置，其相对磁导率约为数百，而在其他地方则达到一千多，这说明，由于磁芯材料的非线性效应，磁芯各处的相对磁导率并不相同。
(a)铁芯内磁通密度云图及矢量图(b)磁芯相对磁导率分布图
图 1-4 磁芯磁场分析结果
由上述分析可知，由式(1-3)得到式(1-4)的两个假设实际上均不成立，由此，由式(1-4)计算气隙磁通将会存在一定的误差，只有基于数值模拟，才能对磁芯的漏磁和非线性效应进行准确的评估，给出精确的结果。
1.1.3 电阻器的多物理场分析
电阻器是电力系统、电磁装置里常用的设备，大功率电阻器一般由不锈钢带制成，图1-5所示为某电绣钢电阻器的3D模型图，其中红色部分为不锈钢电阻带，绿色为不锈钢支撑材料，黄色为云母绝缘材料，蓝色为支撑杆。
图 1-5 电绣钢电阻器3D模型图
大功率电阻器一般运行于较高的电流，欧姆功率较高，电阻本身会有很高的温升，而电阻温度变化又会引起电阻器不锈钢材料电阻率的变化。因此，电阻器的发热功率及温升是一个复杂的双向耦合问题。此外，电阻器发热后发生热膨胀，电阻器会发生变形。同时，电阻器上的电流会产生磁场，在电阻器不锈钢带上产生电磁力，也会引起电阻器的变形。电阻器电磁场、温度场与结构场的耦合关系如图1-6所示，一般而言，我们认为电阻器发生的形变较小，对电磁场和温度场的影响较小，因而是单向耦合。
图 1-6 电阻器电磁场、温度场与结构场耦合关系
在电阻器的设计中，全面评估其电磁特性、温度分布及结构强度对于保证电阻的性能是十分必要的，这涉及电磁场-温度场-结构场的多物理场耦合分析。这种复杂的多物理场耦合问题一般需要专业的仿真软件辅助分析，本门课程也将针对ANSYS软件的多物理场耦合分析进行简单的介绍。
1.2 ANSYS基本功能及应用介绍
ANSYS软件是美国ANSYS公司研制的大型通用有限元分析软件，也是目前世界上应用最为广泛的计算机辅助工程软件之一。ANSYS软件是集电磁场、流体、结构、声学、热学分析于一体的大型有限元分析软件，本课程重点学习其中的电磁场仿真模块，也将涉及简单的多物理场耦合分析内容。ANSYS软件安装包目前分为ANSYS Electronics Desktop和ANSYS Workbench两部分，下面分别进行简单的介绍，具体信息可以参考ANSYS官网。
图 1-7 ANSYS基本产品架构与组成
1.2.1 ANSYS Electronics Desktop
Electronics Desktop是ANSYS软件电磁、电路和系统仿真关键的统一平台，电子设计仿真工具的统一界面，内置了包括 HFSS、Maxwell、Q3D Extractor 及 Simplorer 等电子仿真工具。 （1）MAXWELL
Maxwell是一款综合的电磁仿真分析软件，适用于电机、执行器、变压器及其他电力和电子设备的分析与设计。Maxwell可以用于分析稳态、频域变化以及暂态的电磁场问题，频域问题主要用于低频。Maxwell还可以与Simplorer耦合，开展电磁场-电路耦合分析。同时，Maxwell还可以集成到ANSYS Workbench，开展与热、结构、流体等相关的耦合分析。
（2）HFSS
HFSS（High Frequency Structure Simulator）是一款三维电磁仿真软件，用于高频电磁产品的仿真、分析与设计，如天线、天线阵列、射频或微波元件、高速互连、滤波器、连接器、IC封装和印刷电路板等，在通信系统、雷达系统、高级驾驶员辅助系统（ADAS）、卫星、物联网（IOT）产品和其他高速射频及数字设备中的高频、高速电子设计中有广泛应用。
（3）SIwave
SIwave（Signal Integrity）是一个专业化分析设计平台，主要用于电子产品封装和印刷电路板（PCB）的电源完整性、信号完整性和电磁干扰分析。SIwave还可以与Simplorer和Workbench开展联合仿真，进行电路-电磁-热-结构等多物理场的耦合分析。
（4）Q3D Extractor
Q3D Extractor通过进行3D或2D准静态电磁场仿真提取互联结构中的杂散参数（包括电阻、电感、电容和电导），然后自动生成一个等效SPICE子电路模型。基于这些高精度模型开展信号完整性分析，可以研究串扰、接地反弹、互连延迟和振铃等电磁现象，了解互连、IC封装、连接器、PCB、母线和电缆的性能。
（5）Simplorer
Simplorer是电路与系统仿真设计平台，主要用于电机等产品的驱动设计。Simplorer不仅具有IGBT特征化建模、驱动电路、控制算法建模和仿真的功能，还能够和ANSYS电磁、结构、流体产品以及第三方产品实现降价模型接口和协同仿真接口。此外，Simplorer还可以与Simulink开展协同仿真，实现高精度电驱动系统设计和传导干扰分析。
1.2.2 ANSYS Workbench
Workbench是ANSYS软件所有仿真模块、工具模块等的统一工作平台，Electronics Desktop内的模块也可以集成到Workbench。在Workbench内，通过简单的拖拽、连接就可以实现不同模块之间的数据共享，从而实现电磁、热、结构、流体、声学等一系列物理场之间的耦合分析及系统优化设计。下面简单介绍电气工程领域常用的一些模块。
（1）热分析模块
Workbench中集成的热分析模块较多，一般常用的热分析模块有Steady-State Thermal、Transient Thermal和Thermal-Electric。Steady-State Thermal用于稳态传热分析，可以与Maxwell、HFSS和SIwave等联合开展稳态电热耦合分析。Transient thermal用于暂态热传热分析，也可以与Maxwell、HFSS和SIwave等联合开展暂态电热耦合分析。Thermal-Electric本身就是热电耦合分析模块，可以非常方便的考虑材料电阻、电导等随温度的变化。
（2）结构分析模块
Workbench中集成的结构分析模块种类较多，包括静态结构分析（Static Structural）、暂态结构分析（Transient Structural）、屈曲分析（Eigenvalue Buckling）、时谐响应分析（Harmonic Response）、模态分析（Modal）及响应谱分析（Response Spectrum）等。常用的是Static Structural，主要与Maxwell开展联合仿真，开展电磁力作用下的结构强度分析。此外，结合热分析模块，还可以分析热应力问题。
（3）流体分析模块
常用的流体分析模块有CFX、Fluent和Icepak，在电气工程领域最主要的应用是电气设备的强迫水冷、风冷散热分析。在Workbench的热分析模块中，对流换热一般是通过一个等效的对流换热系数代替，而在流体软件中则可以准确的分析对流换热情况，对于强迫散热设计十分的必要。Icepak是Fluent公司专门为电子产品工程师定制开发的专业的电子热分析软件。
1.2.3 ANSYS的主要应用
ANSYS是一款大型通用综合型有限元分析软件，在电力与电子、航空航天、汽车、建筑、能源、医疗、机械与设备、材料与化学加工等方面有着广泛的应用。在电气工程领域，ANSYS可用于电力设备和电磁装置，如变压器、电机、电抗器、继电器、电阻器、电容器等的分析与设计，以下以脉冲发电机为例简单介绍ANSYS在其中的应用。 图1-8所示为ANSYS在脉冲电机中的应用实例，其中图(a)为该脉冲电机的3D模型。基于Maxwell，可以分析励磁绕组产生的励磁磁场的分布，如图1-8(b)所示，还可以分析定子的损耗，图1-8(c)所示。基于Simplorer与Maxwell的电磁场-电路耦合仿真，可以分析电机的充电过程，如图1-8(d)所示。基于Maxwell与Static Structural的电磁场-结构耦合仿真，可以分析转子的结构强度，如图1-8(e)和图1-8(f)所示。由上述可知，基于ANSYS软件可以对脉冲电机的电磁特性、结构特性等开展全面的分析，为电机的设计提供重要的参考。
图 1-8 ANSYS在脉冲电机中的应用实例 (a)脉冲电机3D模型 (b)励磁磁场分析 (c)定子损耗分析 (d)充电电流波形分析 (e)转子形变分析 (f)转子应力分析
1.3 电磁仿真的一般流程
电磁仿真的一般流程可以分为以下七个步骤，严格的按照以下步骤进行建模分析，可以最大限度的降低出错的概率，下面对这七个步骤进行简单的介绍。
1.3.1 确定分析类型
确定分析类型包含三个方面：（1）需要确认是采用3D模型还是2D模型，一般而言，为了简化分析，能采用2D模型等效的尽量采用2D模型（长直模型可以用2D-XY平面模型简化，具有轴对称特性的模型可以用2D-RZ平面模型简化），如只能采用3D模型，也要尽量利用对称性减小模型尺寸；（2）需要确认所要分析的是电场（Electric）问题，还是磁场（Magnetic）问题；（3）是确定所要分析的问题是稳态问题（Static），还是时谐问题（Eddy Current），亦或是暂态问题（Transient）。Maxwell仿真类型设置窗口如图1-9所示，需要特别注意的是，在2D仿真分析设置中，还需要设置是笛卡尔坐标系（Cartesian, XY），还是圆柱坐标系（Cylindrical about Z）。
(a) 2D仿真类型设置 (b)3D仿真类型设置
图 1 9 Maxwell仿真类型设置窗口
1.3.2 建立分析模型
第二步需要根据被分析对象的实际物理模型建立仿真模型，基本原则是在不影响问题分析结果的前提下尽量简化仿真模型。有以下几个方面：
（1）根据所分析的场的类型决定需要对哪些部分进行建模：比如，分析带绝缘层导线产生的磁场分布时，则只需对金属导线进行建模，绝缘层可以忽略，因为绝缘层材料的相对磁导率与空气一样，将其与空气（或者说是求解域）建模成一个整体不影响计算结果（具体参见第5章案例1）；又比如，计算同轴电缆的内绝缘层的电场分布及介质损耗时，只需对内绝缘层建模，内外导体及其他模型均可忽略，这是因为，内、外导体的电位已经定义了内绝缘层的边界条件，其他模型对计算结果无影响（具体参见第3章案例2）；
（2）需要对模型的细微结构进行简化处理：比如模型上的倒角会增加局部网格的密度，在不影响分析结果的前提下可以去掉；又比如，模型中可能存在很薄的绝缘层或者导体层，在相应的分析中可以不对这种薄层结构建模，而是用相应的边界条件（如静电场中的绝缘边界、直流传导场中的电阻边界等等）对其进行简化；
（3）根据模型及场分布所具有的对称性，对模型进行简化。关于对称性的利用，后面会有更详细的讲解。 关于Maxwell的具体建模方法可以参考文献[1]。
1.3.3 设置材料属性
第三步是对模型中的各个部分设置材料属性，这一步相对比较简单，只需对仿真模型的各个部分逐一设置即可。比较特殊是，在一些比较特殊的分析中，会用到材料坐标系，比如空心圆柱形永磁体的磁化方向有时沿着轴向，但也有可能是沿着径向，又比如，在多块永磁体拼接起来的永磁体，各块永磁体的磁化方向可能各不相同，这些时候就需要用到材料坐标系来定义磁化方向。在第4章“静磁场数值模拟”部分会有具体的讲解。
1.3.4 剖分网格
第四步是对仿真模型预设网格。Maxwell具有自适应网格功能，即在每步计算完成之后，自动对场梯度较大的地方进行加密，直至获得满足收敛条件的结果。但是，在计算之前对分析模型的网格划分进行预设，可以加快收敛进度，同时获得精度更高的计算结果。一个合理的预设网格可以达到加快收敛进度的效果，但是过密的预设网格又会导致计算量过大，这需要根据对模型计算结果的预判（很多时候需要经验），对需要加密的部分适当加密。在涡流场（时谐场）中有基于趋肤深度划分网格的概念，在“涡流场数值模拟”部分有具体的讲解（具体参见第5章的案例1）。暂态分析不支持自适应网格，但是可以先进行相同模型的静态场分析，用静态场分析的自适应网格划分得到较好的网格之后再导入暂态分析中使用，这样可以提高暂态场的分析精度。在有一些分析中，可以先预判哪里的场梯度较大，然后专门建立一个辅助模型，并设计一个相对较细的网格，这样可以避免对其他区域网格的加密，同时还能保证计算的精度（具体可以参见第2章的案例2）。
1.3.5 施加载荷与边界条件
第五步是对分析模型施加载荷与边界条件。只有确定了仿真模型的载荷与边界条件之后，电磁场方程的解才是唯一的。主要的载荷有电压、电流等，主要的边界条件有对称、求边界等。不同分析类型的载荷与边界条件是不一样的，后面各章将对不同分析类型的载荷及边界条件进行详细的讲解。
1.3.6 求解设置与求解
第六步是对求解进行设置并求解。求解设置主要包括迭代步数设置、收敛条件设置。在时谐场中需要设置分析频率，在暂态场中需要设置时间步，具体请参考相应章节的案例。
1.3.7 结果后处理
最后一步是结果的后处理。结果的后处理是为了得到我们需要的结果，如场的分布云图、参数化扫描中的参数依赖关系、导体的欧姆损耗等。后处理中非常强大的工具是场计算器（Field Calculator），几乎所有的物理量都可以通过场计算器计算得到，关于场计算器的应用可以参考文献[2]及后续章节中的案例。此外，Maxwell默认设置得到的场云图可能效果一般，我们还可以对云图的一些属性进行编辑，以得到最好的显示效果，具体参见第3章案例1。
1.4 初识电磁场仿真
下面我们以图1-1所示的平板电容器的计算为例让大家体验一下Maxwell电磁仿真，假设a=10mm，d=2mm，金属板厚b=1mm，\(ξ_r\)=10，求该平板电容器的电容。首先启动ANSYS Electronic Desktop，然后按照上述分析流程来对这个问题进行分析。 可以确定的是，这是一个三维问题，因此可在ANSYS Electronic Desktop的分析模块插入工具栏中选择Insert Maxwell 3D Design，如图1-10所示。
图 1-10 ANSYS Electronic Desktop分析模块插入工具栏
此外，计算电容器电容量属于静电场问题，因此，在工具栏中选择Maxwell 3D → Solution Type，选择Electrostatic。 接下来需要创建仿真模型。首先根据提供的模型尺寸分别创建三个长方体，代表上金属板、绝缘介质和下金属板，建模时将坐标原点置于模型的几何中心，具体建模方法参考资料[1]。为了分析电容器的边沿效应，还需要对电容器周围的空气进行建模，点击Create Region，在Percentage Offset的后面输入100，即空气域按现有模型尺寸在各个方向延伸100%。最终得到的模型如图1-11所示。
图 1-11 电容器仿真模型
然后对每一个模型设置材料属性。右键单击模型树下的绝缘介质模型，选择Assign Material → Add Material，在Relative Permittivity后面输入10，即定义了一种相对介电常数为10的电介质材料。对于金属板，其材料可以直接采用默认的真空材料，这是因为，金属板为等势体，其相对介电常数对计算结果没有影响。计算域采用默认的真空即可。
接下来是预设网格。右键单击模型树下的绝缘介质模型，选择Assign Mesh Operation → Inside Selection → Length Based，即在介质材料内部划分网格，将Maximum Length of Elements设置为1mm。再右键单击Region，采用相同的步骤，将最大网格尺寸设置为4mm，再将金属板的网格尺寸设置为1mm。 接下来是施加载荷与边界条件。这里的载荷与边界条件相对比较简单，只需要对上下极板施加电压激励即可。右键单击模型树下的上极板模型，选择Assign Excitation → Voltage，在Value处输入1V。因为电容量与电压无关，这里施加一个单位电压即可。采用相同的操作，在下极板上添加0V电压。该模型中的边界为无穷远边界，可采用默认的边界条件。需要注意的是，在2D分析中，必须添加边界条件，3D中的无穷远边界可以采用默认边界。
接下来是求解设置。右键单击工程树下的Analysis，选择Add Solution Setup，Maximum Number of Passes采用默认的10，即最大迭代步数为10步，Percent Error改为0.1，即收敛误差为0.1%。上述设置的意思是，在计算误差达到0.1%即认为计算收敛，停止计算；当迭代次数达到10步之后，即使没有达到设置的收敛条件，也会停止计算。其他设置均采用默认值。为了计算电容量，还需要设置电容计算的设置。右键单击工程树下的Parameters，选择Assign → Matrix，在设置框内将Include下面的Voltage1和Voltage2均勾选。然后右键单击工程树下Analysis下面的Setup1，选择Apply Mesh Operations，此时软件会根据之前的预设网格参数划分网格。点击工具栏中的Validate，检查所有设置，确认无误后点击Analyze All开始计算，如图1-12所示。
图 1-12 Maxwell里常用的功能键
点击工具栏中的Solution Data，在Convergence选项卡中可以看到计算的迭代过程，此次计算经三步迭代后收敛，如图1-13所示。
图 1-13 计算的收敛过程
最后一步是结果的后处理，即得到我们需要的结果。首先观察电容器产生的电场分布，点击模型工作树下的Planes → Global: XZ，然后再在模型工作框内单击右键，选择Fields → E → MagE，即在全局坐标系下的XZ平面上画出电场分布。为了更好的观察电介质内的电场分布，可以将几何模型隐藏，在模型工作树下右键单击所要隐藏的模型，选择View → Hide in Active View即可。计算得到的XZ平面上的电场分布如图1-14所示。
图 1-14 XZ平面上的电场分布
接下来我们计算电容器的电容量，打开Solution Data，点开Matrix选项卡，可以看到如图1-15所示的矩阵，其中9.69pF代表的是上极板（Voltage1）的自电容，10.32pF为下极板（Voltage2）的自电容，4.74pF为两极板之间的互电容，也就是该电容器的电容量。
图 1-15计算得到的电容矩阵
基于式(1-2)可计算得到该电容器的电容量为4.28pF，与仿真计算结果存在一定的偏差，由图1-14可知，在两极板之外的区域存在一定的电场，也会贡献一定的电场能（即电容量）。此外极板之间的电场也并不时是完全均匀的，式(1-2)成立的前提不存在。 除了利用Maxwell内置的Matrix功能计算电容量，还有很多方法可以计算电容量，如场计算器、能量法等等。基于Maxwell，我们还可以研究不同a/d值情况下理论电容值与仿真计算得到的实际电容值的偏差。相关内容会在后面的章节具体介绍。
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